Analisis Mode Genap-Ganjil

Tema kali ini adalah tentang rangkaian listrik. Di berbagai paper tentang rangkaian listrik, khususnya untuk frekuensi tinggi, saya sering menemukan penggunaan sebuah metode untuk menyederhanakan permasalahan. Namanya even-odd mode analysis (bahasa Indonesianya: analisis mode genap-ganjil). Sayangnya, saya menemukan sedikit sekali referensi yang membahas tentang hal ini dari awal (kecuali ref. [1-2] yang lumayan penjelasannya). Tiba-tiba sudah langsung masuk ke aplikasinya. Dan banyak juga istilah-istilah yang berasal dari metode ini, misalnya even/odd impedance, even/odd resonant frequency, dll. Baiklah, apa itu analisis mode genap-ganjil?

Metode ini bermanfaat kalau rangkaiannya simetris. Misalkan seperti ini.

Kiri: Rangkaian simetris (terhadap garis hijau putus-putus). Resistor di tengah dapat dipecah menjadi dua buah resistor paralel yang resistansinya masing-masing dua kali nilai awalnya. Kanan: Contoh untuk mode genap. Klik gambar agar lebih jelas.

Pertama-tama, yang dimaksud dengan mode genap adalah, kita menyusun, misalnya sumber tegangan (juga berlaku untuk sumber arus), di sebelah kanan dan kiri supaya nilainya sama. Begitu juga polaritasnya. Bagaimana dengan arus dan tegangannya? Tentu nilainya akan sama untuk rangkaian di sebelah kanan dan kiri karena rangkaiannya simetris. Jadi:

I_a = I_A
I_b = I_B
I_c = I_C
V_a = V_A
V_b = V_B

Tunggu dulu. Ada yang aneh dengan arus I_c dan I_C. Mereka bertemu dan arahnya berlawanan. Karena arus masuk harus sama dengan arus keluar, maka I_c = -I_C. Nilainya berlawanan, tetapi harus sama? Satu-satunya solusi adalah kedua arus tersebut haruslah bernilai nol. Tentu -0 = 0 bukan? Apa artinya jika arusnya nol? Tidak ada arus. Garis hijau putus-putus berfungsi seperti open circuit (hubung terbuka). Jadi, buang saja kabel yang melewati garis hijau tersebut, sehingga menjadi:

Mode genap (klik gambar untuk memperbesar)

Dengan demikian, kita buang saja gambar yang di sebelah kanan. Dengan hanya menganalisis rangkaian di sebelah kiri, nilai arus dan tegangan di rangkaian sebelah kanan dapat diketahui karena I_a = I_A, dan seterusnya. Jadi lebih simple kan? Tadinya ada 3 resistor dan 2 sumber tegangan, sekarang hanya ada 2 resistor dan satu sumber tegangan. Intinya, untuk mode genap, potong rangkaian simetris, buang setengah rangkaiannya, lalu kabel-kabel yang memotong sumbu simetri dibiarkan open.

Mode ganjil. Perhatikan sumber tegangannya! Kali ini simbol ground-nya sengaja saya gambar. (Klik gambar agar lebih jelas)

Bagaimana dengan mode ganjil? Sama seperti mode genap, hanya saja polaritas sumber tegangan di sebelah kanan harus berlawanan dengan yang di sebelah kiri. Kalau di kiri positif, di kanan harus negatif, dan sebaliknya. Arus dan tegangan di masing-masing komponen pada rangkaian sebelah kanan tentu saja akan berkebalikan dengan yang di sebelah kiri. Jadi:

I_a = -I_A
I_b =- I_B
I_c = -I_C
V_a = -V_A
V_b = -V_B

Arus I_c dan -I_C tidak bermasalah karena memang nilainya berkebalikan. Namun, tetap ada kontradiksi di sini, yaitu pada tegangan V_b dan V_B. Berdasarkan hukum Kirchhoff untuk tegangan, hubungan ini harus dipenuhi: V_b = V_B. Solusinya adalah kedua tegangan tersebut bernilai nol, analog dengan mode genap. Tegangan nol berarti sama saja seperti ada short circuit (hubung singkat) di garis hijau, jadi rangkaian dapat disederhanakan menjadi:

Penyederhanaan untuk mode ganjil. Hubung singkat menyebabkan kabel yang memotong garis hijau di tengah langsung terhubung ke ground. Karena hubung singkat, tidak ada lagi arus yang melewati resistor 2R₂, sehingga resistor ini dapat diabaikan. Di masing-masing rangkaian, hanya tersisa satu resistor dan satu sumber tegangan!

Jadi, untuk mode ganjil, potong rangkaian simetris, buang setengah rangkaiannya, lalu kabel-kabel yang memotong sumbu simetri dihubungsingkatkan ke ground. Kalau diperhatikan, sumbu simetri garis hijau ini seperti cermin dan semua kabel yang melewati cermin ini akan diputus atau langsung dihubungkan ke ground, tergantung jenis modenya.

Kalau kedua sumber nilainya berbeda alias tidak simetris, katakanlah 10 V dan 5 V, apakah metode ini masih dapat digunakan? Ajaibnya bisa, tapi tentu saja rangkaiannya tetap harus simetris. Kedua sumber tegangan tersebut dapat diuraikan menjadi, misalnya 7,5 V dan 2,5  V (7,5+2,5=10) untuk di sebelah kiri, dan 7,5 V dan -2,5 V (7,5-2,5=5) di sebelah kanan:

Kalau sumbernya berbeda nilai …

Berdasarkan prinsip superposisi, kita dapat menganalisis secara terpisah, pertama untuk di kiri dan kanan masing-masing 7,5 V (ini mode genap!) dan kiri-kanan 2,5 dan -2,5 V (ini mode ganjil!). Hasil analisisnya adalah hasil penjumlahan dari arus atau tegangan pada mode genap dan ganjil. Hati-hati plus-minusnya :)

Jadi, hanya dengan menganalisis separuh dari rangkaian, kita dapat memperoleh karakteristik seluruh rangkaian. Ok, untuk contoh ini mungkin masih mudah, tetapi kalau berurusan dengan rangkaian yang kompleks, penggunaan sifat simetri ini dapat mempercepat perhitungan.

Referensi:

[1]. http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/723/handouts/Symmetric%20Circuit%20Analysis%20present.pdf
[2]. http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/723/handouts/Odd%20Even%20Mode%20Analysis.pdf